Тема . Классические неравенства

Неравенство о средних

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела классические неравенства

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#128976

При каких положительных значениях $a,b$ и $c$ достигается наибольшее значение выражения?

--------abc--------- (1+ a)(a+ b)(b+ c)(c +16)

Источники: ПВГ - 2025, 10.4 (см. pvg.mk.ru)

Показать ответ и решение

Максимум исходного выражения соответсвует минимуму выражения

(1+-a)(a+-b)(b+-c)(c-+16) abc

Зафиксируем $b$ и $c,$ будем искать минимум выражения

(1+ a)(a+b) a +a2+ ab+b b -----a----= -----a----- =a + a + 1+b

Так как

∘---- a+ b≥ 2 a ⋅ b= 2√b, a a

минимум достигается при $a = b, a$ то есть $a= √b.$

Зафиксируем $a$ и $c,$ будем искать минимум выражения

(a+-b)(b+c)= ab+-ac+b2+-bc= a+ c+ ac +b b b b

Так как

∘ ---- ac+ b≥ 2 ac⋅b= 2√ac, b b

минимум достигается при $b = ac, b$ то есть $b= √ac.$

Наконец, зафиксируем $a$ и $b,$ будем искать минимум выражения

(b+-c)(c+16)= bc+-c2+-16b+16c= b+ 16+ 16b+ c c c c

Так как

16b ∘ 16b--- √ --- -c-+c ≥2 -c-⋅c=2 16b,

минимум достигается при $16b c = c-,$ то есть $√- c= 4 b.$

Решим систему

( |{ a2 = b |( b2 = ac c2 = 16b

( |{ a2 =b | a3 =c ( c2 =16a2

( |{ a2 = b |( a2 = 4 c= 4a

Получаем ответ:

a= 2, b= 4, c =8

Ответ:

$a =2,b= 4,c= 8$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

people

Специальные программы

Все специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

cyberpunkMouse

cyberpunkMouse