.10 СЛУ и матрицы. Метод Гаусса.

1. Найдем ранг матрицы .
Пойдем, например, методом окаймляющих миноров. Очевидно, что . Далее, возьмем левый верхний минор . Следовательно, ранг нашей матрицы больше либо равен двум.

Далее, давайте посчитаем миноры порядка три, содержащие минор .

(Это нормально, что некоторые из миноров вообще были одинаковыми - их конечно можно было не вычислять по-новой, но выписать мы их все равно обязаны, формально все эти шесть окаймляющих миноров получились вычеркиванием различных строк и столбцов исходной матрицы).

И мы видим, что .

2. Найдем ранг расширенной матрицы .
А в этом случае давайте приведем нашу матрицу к ступенчатому виду. В ступенчатом виде она будет такой:

И мы видим, что . Следовательно, по теореме Кронекера-Капелли, данная система линейных уравнений разрешима.

Более того, всего неизвестных у нас четыре, а ранг системы равен 2, следовательно, у нас должно получиться 2 главных неизвестных (и, соответственно, свободных).

Так оно и есть: за главные мы берем и . Тогда из второй строчки мы получаем, что

Тогда из первой строчки

Таким образом, можем записать общее решение нашей системы: