.10 СЛУ и матрицы. Метод Гаусса.
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть мы имеем дело с системой линейных уравнений самого общего вида
с 
неизвестными и 
уравнениями.
И если мы зададим вопрос, сколько различных решений может иметь такая система,
то мы можем дать такой достаточно очевидный ответ:
Возможны всего три случая. Либо СЛУ не имеет решений; либо СЛУ имеет одно единственное решение; либо СЛУ имеет бесконечно много решений.
Действительно, первый случай реализуется тогда и только тогда, когда после приведения СЛУ в ступенчатый вид мы получили противоречивое уравнение, то есть уравнение вида
Второй случай реализуется, когда нет ни одного противоречивого уравнения, и все
неизвестные - главные.
Третий же случай реализуется, когда нет ни одного противоречивого уравнения, и
есть хотя бы одна свободная неизвестная.
Однако, даже не знание коэффициентов 
, но знание размера, то есть знание
и 
нашей системы может иногда уточнить ответ на вопрос о количестве
решений.
Задача.
a) Пусть 
. Сколько тогда такая СЛУ может иметь решений?;
b) Пусть 
. Сколько тогда такая СЛУ может иметь решений?;
c) Пусть 
. Сколько тогда такая СЛУ может иметь решений?;
d) Пусть все свободные коэффициенты 
. Сколько тогда такая СЛУ
может иметь решений?;
e)* Пусть все свободные коэффициенты 
и 
. Сколько тогда
такая СЛУ может иметь решений?
a) Возможны все три варианта - нет решений, одна решение, и бесконечно много.
Соответствующие примеры получим, взяв, например, 
. Одно решение
будет у такой замечательной системы с одним неизвестным и одним уравнением
как
Ноль решений будет у такой замечательной системы с одним неизвестным и одним уравнением как
И бесконечно много решений будет у такой замечательной системы с одним неизвестным и одним уравнением как
b) Возможны все три варианта - нет решений, одна решение, и бесконечно много.
Соответствующие примеры получим, взяв, например, 
. Одно решение
будет у такой замечательной системы как
Ноль решений будет у такой замечательной системы как
И бесконечно много решений будет у такой замечательной системы как
c) Вот тут уже не все теоретические варианты возможны. На самом деле, у такой
системы может либо вообще не быть решений, либо их сразу бесконечно много.
Пример, когда у такой системы 0 решений получается при 
:
Пример, когда у неё бесконечно много решений тоже можно построить при
:
Почему же при 
невозможен случай, когда у системы ровно одно
единственное решение? На самом деле, по очень простой причине.
Вспомним, что у системы решение единственно, если в ее ступенчатом виде все
переменные главные, то есть нет свободных переменных.
Вспомним так же, что переменная называется главной, если с нее начинается строка в
ступенчатом виде.
Однако при 
строк будет просто меньше, чем переменных. Следовательно, не
может быть такого, чтобы строк хватило на все переменные, следовательно, с
какой-то переменной строка просто не начнется. То есть из-за нехватки строк у нас
обязательно будет хотя бы одна свободная переменная.
А, значит, раз у нас будет свободная переменная, то возможны два случая. Либо
система несовместна (в случае, если есть хотя бы одно противоречивое уравнение),
либо она совместна, и тогда она обязательно будет иметь бесконечно много решений;
d) Такая система не может быть несовместна. По той простой причине, что при всех
у такой системы обязательно будет решение
Но вот остальные два варианта здесь возможны. У такой системы может быть как
одно решение, так и бесконечно много.
Одно решение будет, например, у такой системы
А бесконечно много решений будет, например, у такой системы
e) Во-первых, в силу пункта d) такая система обязательно имеет либо 1, либо
бесконечно много решений.
Однако, в силу пункта c) такая система не может иметь одного решения, она имеет
либо 0, либо бесконечно много решений.
Совмещая эти два результата, получаем, что в случае пункта e) такая система
обязательно имеет бесконечно много решений.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
