.10 СЛУ и матрицы. Метод Гаусса.

Расширенная матрица системы получается такой:

Для удобства поменяем сращу первую и последнюю строчки, потому что гораздо удобнее, когда в первой строке на первом месте стоит единичка (это Э.П. I):

Вычтем из второй строчки первую:

Вычтем из третьей строчки первую с коэффициентом :

Умножим третью строчку на , это Э.П. II:

Вычтем из третьей строчки вторую:

И мы привели систему в ступенчатый вид. Теперь будем делать обратный ход метода Гаусса, следя внимательно за тем, что тут будет зависеть от .

Начнем с третьего уравнения. Оно имеет вид

Сразу видим, что если , то система вообще не имеет решений, поскольку левая часть третьего уравнения равна нулю, а правая - не равна нулю.

Пусть теперь . Если же при этом еще и , то третье уравнение превращается в

Далее, подставляем это во второе уравнение

Подставляем найденные значения и в первое уравнение:

Теперь остался последний случай, когда . Тогда третье уравнение системы выполнено автоматически, потому что в нем написано .
Второе уравнение в таком случае тоже выполнено всегда, потому что в нем тоже написано . Остается только первое уравнение, которое нам говорит

То есть мы должны здесь принять за главную переменную, а все остальные будут свободными, и тогда в таком случае будет ответ

Ответ:
1. При решений нет;
2. При получаем ;
3. При получаем , - любые вещественные числа.