.10 СЛУ и матрицы. Метод Гаусса.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Пусть 
- произвольная СЛУ
Опр. Назовём ассоциированной с системой 
следующую однородную систему
Задача. Пусть 
- общее решение системы 
.
Под словами 
общее решение
имеется в виду следующее:
Если в однородной системе при решении появляются свободные неизвестные, то общее решение в виде
набора 
записывается так: вместо главных переменных в набор записываются формулы,
выражающие их через свободные, а вместо свободных записываются они сами. Если же однородная
система имеет единственное решение (а оно может быть только нулевым), то общее решение это просто
тупо набор
Пусть 
- какой-то числовой набор, удовлетворяющий исходной системе 
(такой набор
обычно называют частным решением 
). Показать, что тогда
- общее решение системы 
(в том же самом смысле, как мы определили выше).
1. Проверим, во-первых, что сумма наборов
всегда будет являться решением системы 
.
Для краткости запишем систему 
в матричном виде как
где 
.
Тогда, пользуясь тем свойством, что произведение матрицы на сумму матриц равно сумме
произведений, получим:
Следовательно, сумма
общего решения ассоциированной однородной системы и частного решения исходной неоднородной -
всегда будет решением исходной неоднородной.
2. Более того, верно и более сильное утверждение. Общее решение неоднородной системы всегда имеет
такую структуру:
общее решение неоднородной = общее решение однородной системы + частное решение неоднородной.
Действительно, Пусть
- общее решение системы 
, то есть системы 
.
Пусть
- какое-то частное решение системы 
.
Тогда мы утверждаем, что
будет общим решением однородной системы 
, то есть 
.
Действительно,
Таким образом, если обозначить эту разность 
за
то мы получим, что общее решение системы 
обязательно имеет вид
то есть имеет вид
общее решение однородной+частное решение неоднородной
Что и утверждалось.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
