.10 Множества и операции с ними. Функции. Мощности множеств. Множества на вещественной прямой. Вещественные числа.

a) Наша функция заведомо не будет сюръекцией, поскольку чтобы она была сюръекцией, синус должен был бы уметь давать на выходе любые числа из В то время как наоборот, всегда не превосходит по модулю 1, какие бы иксы мы в него ни подставляли.

Синус также не будет и инъекцией, поскольку он склеивает разные точки. Например, однако ;

b) Такая функция не будет сюръекцией, потому что она не умеет выдывать любые числа из на выходе. Действительно, для любого Значит, отрицательных чисел мы не получим.

Однако является инъекцией. Вообще, это свойство проходят в школе, но достаточно рукомахательно. Чтобы аккуратно это показать, достаточно показать, что эта функция строго монотонна, а для этого нам нужны были бы производные...в общем, давайте пока поверим, тем более, что нам не привыкать - что эта - инъективна;

c) Такая функция не будет сюръекцией, потому что она не умеет выдывать отрицательные числа из на выходе. Действительно, для любого Тем самым, - не сюръекция.

Далее, поскольку однако то разные точки переводит в одну и ту же. Следовательно, - не инъекция;

d) А вот эта функция будет и инъекцией и сюръекцией - то есть будет биекцией! Действительно, докажем это:

1. Инъективность. Пусть . Тогда если оказалось так, что , то это значит, что

что немедленно влечет после вычитания восьмерки и деления на тройку, что . Противоречие. Значит, - инъективна.
2. Сюръективность. Покажем, что при помощи нашей функции мы можем получить любое вещественное число. Итак, пусть - произвольно. Какой надо подставить в , чтобы получить ? Ну, очевидно

- такой вот и надо в подставить, чтобы получить наперед заданный .