.10 Множества и операции с ними. Функции. Мощности множеств. Множества на вещественной прямой. Вещественные числа.

Пусть - множество многоугольников, у которых все вершины черные, а - множество многоугольников, у которых есть белая вершина (а все остальные - черные).

Построим функцию по следующему правилу.

Если - многоугольник, то получается из добавлением к нему белой вершины (проведением новых сторон так, чтобы они теперь включали эту вершину в новый многоугольник).

Таким образом, по сути берет на вход какой-то многоугольник с чисто черными вершинами и добавляет к множеству его вершин ту-самую одну белую вершину.

Мы получаем новый многоугольник .

При этом, очевидно, - инъективна. То есть если и - разные многоугольники, то .

Естественно - добавление белой вершины к изначально разным многоугольникам не может сделать их одинаковыми.

Таким образом, можно сделать вывод, что .

Однако - не сюръекция. Действительно, при помощи отображения мы никак не можем придти в какой-нибудь треугольник с белой вершиной. Ведь треугольник не мог быть получен добавлением белой вершины ни к какому многоугольнику с чисто черными вершинами (мы считаем, что двуугольник - это не многоугольник).

Таким образом, каждому многоугольнику из соответствует ровно один многоугольник из , но при этом , то есть в есть многоугольники, которые не соответствуют никаким многоугольникам из .

Следовательно, , то есть многоугольников, у которых есть одна белая вершина - больше.