.10 Множества и операции с ними. Функции. Мощности множеств. Множества на вещественной прямой. Вещественные числа.

Действительно, пусть - биекция.

Определим по следующему правилу: для каждого функция отправляет этот в тот самый единственный(!) , для которого .

Почему же такой , что - единственный?

Да потому что нам дано, что - биекция, в частности, это инъекция. Значит двух разных таких, что от обоих из них равно , быть не может. Почему же для каждого такой , что вообще найдется?

Да потому что нам дано, что - биекция, в частности, сюръекция. А это ровно это и означает.

Таким образом, мы получили вполне определенную функцию

она каждому сопоставляет один и только один по описанному выше правилу (и мы уже попутно объяснили, почему каждому и почему один и только один).

Следовательно, нечто, что мы назвали , действительно является функцией в смысле нашего определения функции.

Осталось лишь проверить, что она действительно обратна к в том смысле, в котором говорится в задаче.

Итак, пусть - произвольный. Чему тогда будет равно ?

Итак, внутри переводит в некоторый . А что же делает с этим внешняя ? Да просто по ее собственному построению она переводит его обратно в . Таким образом, мы проверили, что для любого выполнено

Далее, пусть - произвольный. Чему тогда будет равно ? Ну, раз этот , а наша исходная была биекцией, то обязательно существует такой , как мы уже заметили, что . Но тогда по самому построению мы получим, что внутри , причем тому самому единственному , что . Но тогда вся эта большая штука равна (поскольку внутри ).

Иными словами,

Что и нужно было нам проверить.