.10 Множества и операции с ними. Функции. Мощности множеств. Множества на вещественной прямой. Вещественные числа.

Выберем тогда в счетное подмножество (а в любом бесконечном множестве существует счетное подмножество). Утверждается, что тогда - тоже счетно.

Заметим прежде всего, что , потому что по условию теоремы даже .

Действительно, если - счетно, то существует биекция . Если - счетно, то существует биекция .

Но тогда легко соорудить и биекцию

Пусть если - четно, , то .
А если - нечетно, , то .

Таким образом мы четные числа отображаем во все элементы множества , а нечетные числа отображаем во все элементы множества . Поскольку и - не пересекаются и поскольку были биекциями, мы получаем, что и - биекция.

Таким образом, мы доказали, что - тоже счетно.

Но раз - тоже счетно так же как и , то между ними должна быть некоторая биекция . Давайте зафиксируем эту биекцию

Но тогда ясно, что функция

определенная правилом

будет биекцией.

Действительно, мы просто при помощи нашей биекции перегоняем в , а остальную часть множества просто не трогаем.