.10 Множества и операции с ними. Функции. Мощности множеств. Множества на вещественной прямой. Вещественные числа.

a) Если - континуально, то это по определению означает, что существует биекция

То есть каждому элементу множества соответствует одна и только одна последовательность из нулей и единиц, и таким образом каждая последовательность из нулей и единиц соответствует одному и ровно одному элементу множетсва .

То же самое можно сказать и про множество - у нас, раз - континуально, есть биекция

Давайте составим теперь биекцию

Куда мы отправим произвольный элемент ? Во-первых, давайте возьмем . Это получится некоторая последовательность из нулей и единиц

Давайте далее возьмем . Это тоже получится некоторая последовательность из нулей и единиц

Тогда давайте по определению положим

То есть паре последовательностей , мы сопоставим последовательность, у которой на четных местах стоят члены последовательности , а на нечетных - члены последовательности .

Получилось отображение

Оно инъективно, потому что если , то либо , либо . И в том и в другом случае, очевидно,

Например, в первом случае, если , то в силу того, что - инъекция, то , а, значит, последовательность на каком-то нечетном месте будет отличаться от последовательности . Аналогично и во втором случае.

Также - это сюръекция, потому что мы таким образом сможем получить любую последовательность из нулей и единиц как результат применения .

Действительно, по нечетным координатам выдает всевозможные результаты действия на . Но то была сюръекцией, поэтому по нечетным координатам в образе мы можем получить любую подпоследовательность.

Точно так же по четным координатам действует как от всевозможных элементов . Но - тоже сюръекция, поэтому и по четным координатам в образе мы можем получить любую подпоследовательность.

Но если у нас и на четных и на нечетных местах может получиться любая подпоследовательность, то и глобально мы можем получить любую последовательность из нулей и единиц в образе .

b) Мы уже знаем, что - континуально. Тогда, применяя доказанное в пункте a) получаем, что - тоже континуально.

Для используем наше знание, полученное мгновение назад, о том, что - континуально. Но тогда, поскольку, очевидно, можно написать, что

то, поскольку первый сомножитель - континуален, второй - просто - тоже континуален, то по пункту a) и - континуально.

А для произвольного легко доказать по индукции, что

- континуально. Мы фактически на примере уже продемонстрировали, как делать шаг индукции.