.10 Множества и операции с ними. Функции. Мощности множеств. Множества на вещественной прямой. Вещественные числа.

a) Если , то всё очевидно, поскольку тогда длина рассматриваемого интервала больше 1, а значит в него заведомо попадает хотя бы одно целое число - а уж тем более и рациональное.

Если же , то тогда ясно, что найдется такое , что

То есть длина интервала будет больше 1.

Следовательно, в него попадает хотя бы одна целая точка .

Но раз , то очевидно, что

Тем самым, в любом интервале найдется хотя бы одна рациональная точка.

b) Пусть нашлось континуально много непересекающихся интервалов на прямой. В каждом интервале выберем по рациональному числу по пункту a).

Поскольку интервалы не пересекались, то выбранные рациональные числа для любых двух интервалов - разные.

Таким образом, мы смогли построить инъекцию из множества наших непересекающихся интервалов в некоторое подмножество рациональных чисел.

Но рациональных чисел - счётно. Значит, и наших непересекающихся интервалов - не более чем счётно. Значит, уж точно не континуально.