.10 Множества и операции с ними. Функции. Мощности множеств. Множества на вещественной прямой. Вещественные числа.

a) Нет. Их как минимум континуум. Действительно, множество окружностей

- не пересекается (ведь это окружности, а не круги!), и их столько, сколько чисел в луче , потому что каждой такой окружности можно однозначно сопоставить её радиус .

А чисел в интервале - континуум.

А ведь так мы перечислили далеко не все возможные окружности - это только непересекающиеся концентрические окружности с центром в нуле и радиусами от 0 до 1 невключительно. Конечно, потенциально, их может оказаться и больше, чем континуум. Но то что их ровно континуум мы пока доказывать не будем - уж по крайней мере их точно несчётно.

b) Это верно. Действительно, рассмотрим любое множество непересекающихся кругов на плоскости. Внутри каждого круга можно выбрать по рациональной точке (рациональная точка плоскости - это точка, обе координаты которой рациональны).

Поскольку круги не пересекаются, то рациональные точки, соответствующие различным кругам, разные.

Рациональных точек плоскости будет счетное число, потому что их будет столько, сколько элементов в множестве

- а декартово произведение счетных множеств счетно.

Следовательно, раз мы построили инъекцию из множества непересекающихся кругов в некоторое подмножество счетного множества (в подмножество ), то таких кругов не может быть более чем счётно.