.10 Множества и операции с ними. Функции. Мощности множеств. Множества на вещественной прямой. Вещественные числа.

a) Пусть в нашлось две такие единицы, удовлетворяющие аксиоме A5. Назовем эти две единицы и . Тогда, с одной стороны, по аксиоме A5 для единицы будет выполнено для любого , что

И если применить эту аксиому к конкретному , то получим

С другой стороны, поскольку - тоже единица, для нее мы тоже можем применить аксиому A5, и получим, что для любого , что

И если применить эту аксиому к конкретному , то получим

И мы видим, что, например,

и в то же время

Следовательно,

то есть любые две единицы в обязаны совпадать.

b) Пусть для какого-то , нашлось сразу два обратных . Раз оба они обратные, то по аксиоме A6 обязательно будет выполнено

Но тогда

Значит , что и требовалось доказать. Любые два обратных элемента к данному конкретному - совпадают.

c) 1 случай. Допустим, . Тогда все доказано, ведь мы утверждаем, что либо , либо .
2 случай. Допустим теперь, что . Но тогда по аксиоме A6 для этого существует обратный такой, что .

Домножим тогда имеющееся у нас по условию равенство на этот справа:

Но как мы уже знаем для любого , то есть

Расставив теперь скобки в этом умножении таким образом (а расставлять их можно как угодно по аксиоме A7)

Получим, что , из чего по аксиоме A5 мгновенно вытекает, что .

Значит, мы в обоих случаях доказали, что либо , либо равен нулю, когда их произведение равно нулю.