.10 Множества и операции с ними. Функции. Мощности множеств. Множества на вещественной прямой.

a) Процедура, описанное правилом в этом пункте, будет отображением в том и только в том случае, когда она будет удовлетворять условию функциональности.

Это попросту означает, что каждому будет соответствовать единственный
Коротко и формально это записывается вот как:

Посмотрим, что для нас это означает в данном случае. В пункте a) мы сопоставляем человекам стулья.

То есть множество людей у нас это а множество стульев - это Наше сопоставление будет являться отображением (или функцией - это синонимы!), если каждому иксу, то есть каждому человеку, будет сопоставляться один и только один игрек, то есть стул. Короче говоря, это означает, что какой товарищ в нашем помещении не будет столь наглым, что решит занять два или даже больше (мало ли) стульев одновременно!

Напомним определение инъекции:
Опр. - инъективно, если если они разные, то есть то и их образы при отображении тоже разные, то есть

Переведём это на язык нашей ситуации. Это попросту означает, что разные люди садятся на разные стулья - у нас нет таких неразлучных друзей или сладкой парочки, что решит занять оба стула одновременно.

Напомним определение сюръекции:
Опр. - сюръективно, если такой, что То есть, мы при помощи нашего отображения можем попасть в любой элемент множества

Переведём это на язык нашей ситуации: это попросту означает, что все стулья заняты!

Напомним определение биекции:
Опр. - биективно, если одновременно и инъективно, и сюръективно.

Осталось только совместить два предыдущих условия и получить, что сюръективность в данном случае означает, что у нас ни на каком стуле не сидит два или больше человек, и при этом все стулья оказались заняты.

С учётом требования функциональности а именно, что ни один человек не занял несколько стульев одновременно, мы получаем, что если - биекция (одной только биективности без требования функциональности было бы недостаточно, подумайте, почему!), то стульев и людей должно быть поровну. То есть, биекция, инъекция, сюръекция - это всё лишь способы обобщить понятия количества элементов и понятия, что в каком-то множестве "больше" или "меньше" элементов, чем в другом.

b) Опять же, здесь всё аналогично, но только в обратную сторону: мы теперь стульям сопоставляем людей, то есть у нас задано некоторое отображение Требования функциональности, инъективности, сюръективности и биективности формулируются аналогично. Давайте просто скажем, что они означают в каждом из наших случаев в пункте b).

Функциональность здесь означает, что каждому стулу соответствует ровно один человек, то есть что ни на каком стуле не сидит двое и больше людей (сравните с инъективностью из пункта a))
Инъективность будет означать, что разным стульям соответствуют разные люди, то есть что никакой человек не решил усидеть на двух стульях одновременно (сравните с функциональностью из пункта a)).
Сюръективность будет означать, что у нас каждый человек сел на какой-то стул, т.е. что не осталось ни одного человека, который не сидел бы на стуле. (Это зеркально напоминает ситуацию с сюръективностью ).
Биективность , вместе с функциональностью дают по смыслу то же самое, что и биективность и функциональность (вместе): то что стульев и людей поровну, т.е. каждый человек сидит ровно на одном стуле и все стулья заняты и все люди сидят.