.10 Множества и операции с ними. Функции. Мощности множеств. Множества на вещественной прямой.

a) Функция, устанавливающая биекцию между интервалами и задаётся формулой Поскольку эта функция представляет собой линейную функцию вида то она, очевидно, и инъективна (иначе бы какие-то две точки прямой склеились бы в одну), и сюръективна, поскольку в противном случае мы бы на выходе получили не всю прямую. В том числе, она инъективна и сюръективна на указанных множествах. Следовательно, - биекция.

b) Выберем для начала все рациональные точки на отрезке То есть, пусть - множество всех рациональных чисел на занумерованных произвольным образом, но с условием, что (их можно занумеровать, так как а, следовательно, и - cчётно).

Далее, пусть - произвольная нумерация рациональных чисел на интервале

Тогда биекцию построим вот так: и далее для любого рационального числа пускай при

То есть мы просто взяли и перегнали рациональные концы отрезка в какие-то две произвольные рациональные точки а между оставшимися рациональными числами отрезка и интервала устроили биекцию (оба множества счётные, поэтому такая биекция существует).

При этом и при этом пусть То есть, на иррациональных точках наша тождественна - она оставляет их на месте. Таким образом, мы построили биекцию между и