.10 Множества и операции с ними. Функции. Мощности множеств. Множества на вещественной прямой. Вещественные числа.

Произвольное подмножество множества содержит или не содержит каждый из трёх элементов множества

Давайте будем кодировать все возможные подмножества множества последовательностями из нулей и единиц по следующему правилу: мы берем на ом месте, если -ый элемент множества НЕ входит в подмножество, и 1 на ом месте, если -ый элемент множества входит в подмножество.

Например, последовательность кодирует подмножество, в которое последние два элемента входят, а первый не входит, то есть подмножество

А последовательность кодирует подмножество, в которое вообще не входит ни один элемент, то есть пустое подмножество

Получается, что подмножеств будет столько же, сколько таких последовательностей из нулей и единиц длины 3.

На первое место у нас два варианта, что можно поставить, на второе и на третье - тоже. Значит, всего вариантов будет

Действительно все эти подмножества можно перечислить явно:

Замечание. Ясно, что этим же способом можно доказать, что у любого конечного множества, состоящего из элементов, будет подмножеств.