.10 Множества и операции с ними. Функции. Мощности множеств. Множества на вещественной прямой.

a) Наша функция заведомо не будет сюръекцией, поскольку чтобы она была сюръекцией, синус должен был бы уметь давать на выходе любые числа из В то время как наоборот, всегда не превосходит по модулю 1, какие бы иксы мы в него ни подставляли.

Синус также не будет и инъекцией, поскольку он склеивает разные точки. Например, однако ;

b) Аналогично предыдущему пункту косинус не будет ни сюръекцией, ни инъекцией.

Сюръекцией он не будет по тем же самым причинам, а инъекцией, например, потому, что ;

c) Такая функция не будет сюръекцией, потому что она не умеет выдывать любые числа из на выходе. Действительно, для любого Значит, отрицательных чисел мы не получим.

В то же время, даже по графику легко увидеть, что у нас при функции разные точки переходят в разные. То есть, если то и Следовательно, в этом случае - инъекция;

d) Такая функция не будет сюръекцией, потому что она не умеет выдывать отрицательные числа из на выходе. Действительно, для любого Тем самым, - не сюръекция.

Далее, поскольку однако то разные точки переводит в одну и ту же. Следовательно, - не инъекция;

e) Мы здесь имеем дело с тождественной функцией (графиком её является прямая линия - биссектриса первого и третьего координатных квадрантов). То есть, функцией, которая на выход возвращает то же самое, что мы ей дали на вход.

Ясно, что при помощи такой можно получить любое число из - какое число мы хотим получить, такое и нужно в неё подставить. Значит, - сюръективна.

Инъективность тоже очевидна, поскольку у нас число при таком отображении переходит само в себя, то разные числа переходят в разные.

Тем самым, в данном примере - это и инъекция и сюръекция одновременно (а, значит, и биекция).