.10 Множества и операции с ними. Функции. Мощности множеств. Множества на вещественной прямой.

a) Пусть в есть два нуля , оба из которых удовлетворяют аксиоме A1.

Тогда с одной стороны

ведь для любого выполнено, что

(мы просто воспользовались A1 в применении к ).

Теперь же, с другой стороны,

ведь для любого выполнено, что

(мы просто воспользовались A1 в применении к ).

Таким образом, получаем, что

и в то же время

Следовательно,

То есть эти два нуля обязаны совпадать. Что и требовалось.

b) Пусть для какого-то имеется два обратных ему , то есть

Но тогда

То есть мы получили, что , что и требовалось доказать.

Отметим, что в процессе нам нужно было еще воспользоваться аксиомой A3, гарантирующей нам возможность расставлять в сумме скобки как мы хотим.

c) Действительно:

Пока мы воспользовались только тем, что - это очевидно и потом воспользовались A9 для раскрытия скобок.

Далее, мы получили, если обратить внимание только на первый и на последний член равенства, следующее:

Обозначим . То есть у нас имеется равенство

У этой обязан быть обратный по сложению ( это гарантирует A2 ). Прибавим к обеим частям последнего равенства этот самый обратный к , то есть прибавим к обеим частям :

Левая часть этого равенства равна нулю по A2, а в правой части разность тоже равна нулю.

Следовательно, получили

Что и требовалось.