.10 Множества и операции с ними. Функции. Мощности множеств. Множества на вещественной прямой.

1. То, что вещественных чисел в интервале бесконечно много - очевидно.

2. Почему их несчётно?

Будем доказывать от противного. Пусть, напротив, множество - счётно, то есть существует биекция

Но это означает, что каждое вещественное число из интервала получает свой уникальный натуральный номер. То есть все вещественные числа из интервала можно записать вот в такую бесконечную таблицу

...	...
...	...

И из того, что - биекция следует, что в этой таблице встретится каждое вещественное число, причем каждое встретится ровно один раз.

Далее, вспомним, что мы выбрали модель вещественных чисел, в которой они представляются бесконечными десятичными дробями.

И, таким образом, ясно, что любое вещественное число из интервала является десятичной дробью вида

Тогда нашу таблицу можно переписать в виде

...	...
...	...

То есть - это -ая цифра десятичной дроби, расположенной в ой строчке нашей таблицы.

Но тогда мы утверждаем, что в этой таблице не могут расположены все вещественные числа, то есть все десятичные дроби из интервала .

Действительно, в этой таблице нет числа, устроенного следующим образом:

Где - любая цифра, отличающаяся от , - любая цифра, отличающаяся от , ..., - любая цифра, отличающаяся от , и так далее.
Например, если было цифрой 5, то в качестве возьмем любую цифру, кроме 5. И так на каждой позиции.

Ну и что же у нас получается? А получается, что построенная таким образом бесконечная десятичная дробь

очевидно лежит в интервале .

Но её не было в нашей таблице. Ведь она отличается от каждой десятичной дроби в таблице. А именно, она отличается от -го числа как минимум в -ом (а, быть может и в каких-то других тоже) разряде.

Противоречие, ведь мы предположили, что в нашей исходной таблице

...	...
...	...

были перечислены все вещественные числа из интервала , потому что по предположению было биекцией.

Следовательно, раз мы получили противоречие, то такой биекции вообще не может существовать. Поэтому множество - несчётно.