.08 Линейные пространства и подпространства. Линейная зависимость и независимость. Базис. Ранги.

a) То что является подпространством - очевидно. Оно замкнуто относительно сложения векторов и умножения векторов на числа: сумма любых двух матриц с нулевой последней строкой - вновь матрица с нулевой последней строкой, и любая матрица с нулевой последней строкой умноженная на любое число - вновь будет матрицей с нулевой последней строкой.

Теперь давайте поймем, что из себя явно будет представлять фактор-пространство .

Смысл факторизации состоит в том, что в фактор-пространстве все элементы пространства , лежавшие в , считаются нулевым вектором. Таким образом, все матрицы, у которых последняя строка нулевая (а при этом первые 4 строки какие угодно!) теперь в факторе становятся нулём.

Таким образом, например, такая матрица

в фактор-пространстве станет нулем. И вообще любая другая матрица с нулевой последней строкой и какими угодно предыдущими четырьмя тоже превратится в ноль.

Таким образом, разумно ожидать, что фактор-пространство состоит как бы из матриц только с последней строчкой, то есть из матриц , поскольку остальные-то строчки нас все равно не интересуют.
(Как бы - потому что на самом деле по определению формально фактор-пространство состоит из смежных классов, и так далее...)

Что ж, а теперь поймем, чему изоморфно и убедимся в справедливости нашей гипотезы.

Итак, как обычно, то есть как и в теории групп, чтобы вычислить фактор-что-то, надо устроить гомоморфизм, то есть в данном случае просто линейное отображение из в какое-то понятное пространство так, чтобы ядром было в точности .

Итак, пусть линейный оператор

действует по правилу

Ясно, что это отображение линейно. Более того, ясно, что его ядро, то есть то, что переходит в ноль - это в точности . Ну и очевидно, что , поскольку отображение - сюръективно, мы можем получить любой вектор из - достаточно просто взять матрицу из именно с такой какой нужно последней строкой.

Следовательно, по аналогу основной теоремы о гомоморфизмах,

b) То что является подпространством - очевидно. Оно замкнуто относительно сложения векторов и умножения векторов на числа: сумма любых двух многочленов, обращающихся в ноль в точке 5 вновь обращается в ноль в точке 5. То же верно и для любого обращающегося в ноль в точке 5 многочлена, умноженного на любое число.

Теперь давайте поймем, что из себя явно будет представлять фактор-пространство .

Смысл факторизации состоит в том, что в фактор-пространстве все элементы пространства , лежавшие в , считаются нулевым вектором. Таким образом, все многочлены, которые в точке 5 обнуляются, становятся нулём в фактор-пространстве.

Таким образом, например, такой многочлен

в фактор-пространстве станет нулем. Да и куча других многочленов, обращающихся в точке 5 в ноль - тоже.

Но вообще-то если - произвольный многочлен, то для него всегда можно найти такой многочлен и такое число , что

где - многочлен, обращающийся в точке 5 в ноль. Действительно, такое разложение существует (и единственно!). Возьмем в качестве число и в качестве возьмем

Тогда, конечно, . Так что такое разложение выполнено.

Таким образом, любой многочлен представляется в виде суммы многочлена, обнуляющегося в точке 5, и какого-то числа...Но всё, что обнуляетя в точке 5, в фактор-пространстве перейдет в ноль. Так что разумно ожидать, что наше фактор-пространство устроено просто как множество константных многочленов...

(Как бы - потому что на самом деле по определению формально фактор-пространство состоит из смежных классов, и так далее...)

Что ж, а теперь поймем, чему изоморфно и убедимся в справедливости нашей гипотезы.

Итак, пусть линейный оператор

действует по правилу

Ясно, что это отображение линейно. Более того, ясно, что его ядро, то есть то, что переходит в ноль - это в точности . Ну и очевидно, что , поскольку отображение - сюръективно, мы можем получить любое число из как значение какого-то многочлена в точке 5.

Следовательно, по аналогу основной теоремы о гомоморфизмах,

c) То, что это подпространство, может быть, и не вполне очевидно. Но если формально расписать - становится совсем очевидно. Сумма любых таких векторов из вновь из , и любой вектор из , умноженный на любое число - тоже будет из .

Опиисывать явно данное фактор-пространство очень трудно. Дело в том, что у нас переходят в ноль все векторы, у которых сумма координат равна нулю. А это не такое маленькое подпространство, как может показаться. На самом деле, это одномерное подпространство в (убедитесь в этом сами, найдите ФСР ОСЛУ для - это и будет базис в ).

Так что наверняка фактор-пространство будет очень маленьким, а если верить теореме о гомоморфизмах - вообще одномерным.

Так что ясно, что , поскольку любые одномерные пространства изоморфны .

Но этого и стоило ожидать: любой вектор из представляется (притом вновь однозначно!) в виде суммы

где , а имеет вид

(только последняя координата ненулевая).

Действительно, если , то искомое разложение будет таким:

Так что, с учетом того, что в фактор-пространстве всё, что лежало в , обнуляется - нас уже не удивляет, что .

d) То что является подпространством - очевидно. Оно замкнуто относительно сложения векторов и умножения векторов на числа: сумма любых двух сходящихся последовательностей вновь сходится, и любая сходящаяся последовательность, умноженная на любое число - вновь сходится.

Построим линейное отображение

по правилу

Его линейность очевидна и следует из свойств предела.

- сюръективно, потому что мы можем подобрать последовательность с любым наперёд заданным пределом.

Ну а какое у него ядро? Ядро у него, ясное дело, в точности - все те последовательности, у которых предел 0.

Но тогда, по основной теореме о гомоморфизмах