.08 Линейные пространства и подпространства. Линейная зависимость и независимость. Базис. Ранги.

a) Нетрудно видеть, что такое множество замкнуто относительно операций сложения векторов и умножения векторов на числа. Поэтому = будет подпространством в любом
b) Поскольку наша прямая проходит через начало координат то всё хорошо. Наши операции тогда определены корректно, и сумма двух векторов с концами на нашей прямой тоже будет иметь конец на нашей прямой.
С умножением на числа тем более всё будет в порядке - умножение на числа не выводит вектора за пределы такой прямой - это легко понять геометрически.
c) Нет, как и любое ограниченное множество, кроме множества из пункта a), то есть = Дело всё в том, что если в нашем есть хотя бы один ненулевой вектор то это означает, что мы этот ненулевой вектор можем растянуть в любое раз. То есть, иными словами, вместе с любым в обязан входить и любой вектор вида (если мы хотим, чтобы было подпространством), где Значит, как минимум по этому направлению мы можем неограниченно расти. То есть, никакое ограниченное множество, в том числе и наш куб, подпространством быть не может.