.08 Линейные пространства и подпространства. Линейная зависимость и независимость. Базис. Ранги.

Докажем это утверждение для плоскости. Совершенно аналогичное рассуждение будет работать и в случае любого мерного пространства, то есть в случае

Нам надо доказать два факта: 1) то, что любой вектор представляется в виде линейной комбинации базисных и то что 2) это представление единственно.
1) Почему вообще любой вектор на плоскости можно выразить через базисные ? По определению базиса на плоскости, - линейно независимая система из двух векторов. Но раз они линейно независимы, а мы находимся в плоскости, то система будет линейно зависимой, какой бы вектор мы к ней ни добавили. Значит, один из векторов системы линейно выражается через остальные. Понятно, что это и должен быть наш добавленный т.к. - была независимой.
Таким образом, такие, что
2) Докажем единственность. Пусть нашлось два различных выражения вектора по базису То есть, иными словами, пусть такие, что и, в то же время, Вычтем одно равенство из другого и получим, что
То есть мы выразили нулевой вектор через базисные и Но через независимую систему нулевой вектор выражается одним единственным - тривиальным - способом. То есть все коэффициенты при и равны То есть

Таким образом, мы получили, что коэффициенты первого разложения по базису совпадают с коэффициентами второго. Следовательно, мы имеем единственность разложения по базису.