.08 Линейные пространства и подпространства. Линейная зависимость и независимость. Базис. Ранги.

Как вообще понять, является ли какая-то система векторов линейно независимой, или нет. Ну, по определению, она является линейно независимой, если мы можем найти решение у такой вот системы уравнений:

где вектор имеет координаты

Решать такую систему можно, например, методом Гаусса.

В нашем случае получается вот такая система:

Решим её методом Гаусса: записываем расширенную матрицу системы
Для удобства вычислений обменяем первую и вторую строку местами: Далее, Умножим 2-ю строку на и добавим к 3-й строке (Э.П. 3). Сама вторая строка, напомним, при этом не меняется:

Далее, Умножим 1-ю строку на и добавим к 2-й (Э.П. 3):

Умножим 2-ю строку на и добавим к 3-й: Вот мы с вами и привели матрицу к ступенчатому виду. Для красоты можно ещё поделить каждую строчку на соответствующее число на диагонали: (трижды Э.П. 2): Далее, из последней строчки видно, что То есть, мы получаем, что Далее, подставляя это во второе уравнение, получим, что То есть, Аналогично подставляя и в первое уравнение мы получим, что и Таким образом, мы получили, что у нашей системы единственное решение - тривиальное, в том смысле, что оно нулевое. Значит, исходная система векторов была линейно независимой.