.08 Линейные пространства и подпространства. Линейная зависимость и независимость. Базис. Ранги.

Поскольку наша система состоит из трёх векторов, а векторы эти из , а мы уже знаем, что , то чтобы доказать, что эта система векторов является базисом, достаточно проверить её линейную независимость.

Тот факт, что - линейно независима в экивалентен тому факту, что у системы

единственное решение - тривиальное, то есть когда

Будем решать эту систему методом Гаусса. Тогда в конце у нас получится матрица:

Из этой матрицы сразу видно, что единственное решение у нас - это когда Тем самым, система - линейно независима .

Далее, чтобы найти координаты в базисе нужно найти такие что Это попросту означает решить систему:

Решением этой системы будет являться такие : Следовательно,