.08 Линейные пространства и подпространства. Линейная зависимость и независимость. Базис. Ранги.

От противного. Пусть такое существует. Тогда для какого-то Но имеет, очевидно, размерность - в нём есть стандартный базис

Но тогда по теореме об изоморфизме, , если уж то То есть из теоремы об изоморфизме следовало бы, что размерность пространства равна То есть, в частности,

Но это не так. Потому что в существует бесконечный набор линейно независимых многочленов:

Они явно линейно независимы. Ибо, будь они линейно зависимы, то можно было бы нулевой многочлен представить в виде их конечной (!) нетривиальной линейной комбинации:

Что невозможно, поскольку многочлен - это не константа 0, в силу нетривиальности линейной комбинации, а значит не может быть равен 0 в любой точке (поскольку любой многочлен отличный от константы 0 имеет лишь конечное число корней).