.08 Линейные пространства и подпространства. Линейная зависимость и независимость. Базис. Ранги.

1. Что такое ядро отображения то есть ?
По определению, это такие многочлены что То есть

Но многочлен

равен нулевому многочлену (а это и есть нулевой вектор пространства ) тогда и только тогда, когда То есть, это означает, что у исходного многочлена все коэффициенты, кроме свободного члена были равны 0. А очевидно, мог бы быть любым. Таким образом, мы получаем, что

Очевидно, что

2. А образ то есть согласно формуле, что

должен иметь размерность

Действительно,

То есть образ состоит из тех и только тех многочленов, которые являются результатами дифференцирования какого-то другого многочлена степени не выше чем

Ясно, что это означает, что степень если он лежит в образе уже никак не может быть равна поскольку дифференцирование понижает степень многочлена.

С другой стороны, ясно, что любой многочлен степени не выше чем может быть получен в результате дифференцирования какого-то другого многочлена степени не выше чем А именно, если нам дают какой-то то есть

то достаточно лишь взять

и тогда очевидно, что

Таким образом, мы показали, что И действительно, как мы и ожидали.