.08 Линейные пространства и подпространства. Линейная зависимость и независимость. Базис. Ранги.

Пусть - матрица размера , а - матрица размера . Пусть . Ее размер . Посмотрим, как выглядит ее -ый столбец:

Запишем это иначе:

Видно, что каждый столбец является линейной комбинацией столбцов . Значит, система из столбцов линейно выражается через систему из столбцов . Таким образом, по следствию из ОЛОЛЗ ранг не превосходит ранга .
Рассуждая аналогично, можно убедиться в том, что каждая строка - это линейная комбинация строк , а ранг не превосходит ранга .

Тем самым, мы получаем, что

Комбинируя эти два неравенства, мы получим