.08 Линейные пространства и подпространства. Линейная зависимость и независимость. Базис. Ранги.

В этой задаче будем пользоваться определением ранга как максимальным количеством линейно независимых столбцов в матрице.

Пусть , а количество столбцов в матрице равно . Пусть ранг равен , а количество столбцов в матрице равно .

Тогда в матрице есть столбцов, которые линейно выражаются через остальные. Аналогично, в матрице таких столбцов .

Соединим матрицы и посмотрим на матрицу . В ней столбцов, из которых линейно выражаются через остальные (потому что выражались через остальные уже в матрице , и тем более они же и выразятся через остальные в большей матрице, аналогично выражались через остальные уже в матрице , и тем более они же и выразятся через остальные в большей матрице). Значит, линейно независимых столбцов в уж точно не больше, чем
. Следовательно, .