.08 Линейные пространства и подпространства. Линейная зависимость и независимость. Базис. Ранги.

Будем доказывать от противного. Пусть эта система векторов (т.е. многочленов) линейно зависима. Тогда найдётся такая линейная комбинация , равная нулевому вектора нашего пространства, т.е. нулевому многочлену. То есть

Пусть теперь - многочлен самой старшей степени среди . По условию, такой многочлен будет только один, поскольку степени всех многочленов нашей системы разные. Но тогда коэффициент при нём, то есть , в рассмотренной выше линейной комбинации, обязательно равен нулю, потому что в результате этой линейной комбинации должен получиться нулевой многочлен, а многочлены более младших степеней никак не смогут сократить самый старший одночлен в .

Таким образом мы показали, что из нашего предположения следует, что коэффициент при многочлене самой старшей степени нашей комбинации равен нулю.

Теперь давайте возьмём многочлен самой старшей степени среди всех оставшихся кроме . Аналогично рассужая можно показать, что коэффициент при нём тоже равен нулю.

Таким образом, все равны нулю, и наша линейная комбинация тривиальна. Следовательно, - линейно независимы.