.08 Линейные пространства и подпространства. Линейная зависимость и независимость. Базис. Ранги.

В матрице ранга есть ровно линейно независимых строк. В матрице ранга 1 все ненулевые строки линейно зависимы. Значит, если сложить таких матриц, в результирующей матрице будет не более, чем линейно независимых строк (поскольку ранг суммы матриц не превосходить суммы их рангов).

Мы доказали вторую часть высказывания. Теперь покажем, что любую матрицу ранга действительно можно представить в виде суммы матриц ранга 1.

Пусть у матрицы есть линейно независимых строк. Не умаляя общности предположим, что это первые строк и обозначим их . Оставшиеся строки выражаются через них, каждая с набором коэффициентов , где - номер строки, которую мы выражаем.

Представим матрицу в виде суммы матриц ранга 1: . В каждой матрице одна из строк с номером совпадает с соответствующей строкой матрицы , а остальные строки с номерами нулевые. Для матрицы ненулевой будет первая строка, для вторая и т. д. Строки же с номером большим, чем , представляют из себя для каждой матрицы ее ненулевую строку, умноженную на соответствуюзий ей коэффициент . здесь - номер матрицы-слагаемого. Например, матрица будет выглядеть так:

В результате, когда мы сложим матрицы , получится матрица , потому что каждая из линейно независимых строк встречается в сумме ровно один раз, а все остальные получатся, как линейная комбинация первых строк с соответствующими коэффициентами.