.08 Линейные пространства и подпространства. Линейная зависимость и независимость. Базис. Ранги.

1) Допустим, существует нетривиальная линейная комбинация этих трёх векторов, равная нулевому вектору:

Заметим, что, поскольку должен получиться нулевой вектор, то , поскольку умножается в том числе на вектор . Значит, мы обязаны его занулить, поскольку иначе вектор ни с чем не сократится и в конце у нас не получится нулевого вектора - попросту потому, что по условию никак не выражается через и - значит если не занулить коэффициент перед ним, то никакая линейная комбинация остальных векторов его не сократит.

Далее, если раскрыть скобки в оставшийся линейной комбинации:

Но векторы - линейно независимы по условию, следовательно и любая их подсистема, в частности, векторы - тоже линейно независимы. Значит в нашей последней линейной комбинации , откуда уже следует и то что . Следовательно, система векторов - тоже линейно независима.

2) Эта система линейно зависима. .

3) Заметим, что каждый из векторов присутствует в разложении двух из трех векторов системы, всякий раз с коэффициентом . Значит, чтобы нетривиальная комбинация была равна нулевому вектору, коэффициенты перед векторами в ней должны быть попарно равными по модулю и противоположными по знаку. Это невозможно. Например, пусть коэффициент при векторе равен 1. Тогда оба остальных коэффициента должны быть равны , но если это так, они не противоположны по знаку. Значит, система линейно независима.

4) Эта система линейно зависима.