.08 Линейные пространства и подпространства. Линейная зависимость и независимость. Базис. Ранги.

Система функций линейно зависима, если сушествуют такие коэффициенты , хотя бы один из которых ненулевой, что для любых из области определения функций .

1. Запишем линейную комбинацию данных нам функций:

Выберем какое-нибудь и домножим каждое слагаемое левой части на :

Теперь проинтегрируем обе части равенства от до :

Проанализируем интеграл от каждого слагаемого, для которого :

Такой интеграл равен нулю, т. к. . Если :

Вернемся к нашему равенству:

Единственное слагаемое, которое не является нулевым здесь - то, где . Тогда получается, что , то есть . Выбрав другие m, можно показать, что все равны 0. Это значит, что и , а система функций линейно независима.

2. Запишем линейную комбинацию данных нам функций:

Поступим аналогично прошлому пункту - домножим каждое слагаемое на , и проинтегрируем от до :

Заметим, что при каждый из интегралов будет равен нулю. При же интеграл будет равен . Снова получаем, что все равны нулю, а система функций линейно независима.

3. Предположим, данная система функций линейно зависима. Тогда существуют такие , не все из которых равны нулю что:

Давайте сделаем замену . Тогда у нас получается, что многочлен

равен нулю при любом (поскольку до замены мы имели равенство нулю при любом ). Но ненулевой многочлен не может иметь корней больше, чем его степень. Следовательно, этот многочлен нулевой, и все равны нулю. Значит, эта система линейно независима.

4. Точно так же, как и предыдущий пункт.

5. Эта система линейно зависима. Например,

6. Эта система тоже линейно зависима. Например,