.08 Линейные пространства и подпространства. Линейная зависимость и независимость. Базис. Ранги.

a) Для начала узнаем, сколько в данной системе линейно независимых векторов. Для этого объединим векторы в матрицу по строкам и найдем ее ранг:

В системе четыре линейно независимых вектора. Заметим, что (это можно увидеть, попытавшись привести матрицу к ступенчатому виду). Значит, вектор можно исключить из системы, и останется один из возможных ее базисов. Проверим, что это действительно базис:

Все четыре вектора линейно независимы, а размерность системы равна четырем. Значит, мы нашли базис системы, а заодно и то, как выражается через базисные векторы оставшийся. ()

b) Ранг данной системы равен трем, значит базис будет состоять из трех векторов. Чтобы понять, какие векторы можно линейно выразить через другие, попробуем привести матрицу системы к ступенчатому виду:

Получается, что за базис можно взять, например, первые три вектора системы, а последний выразить через них. Чтобы понять, как это сделать, можно либо проследить за матричными преобразованиями, либо решить систему уравнений:

Решением этой системы является . Значит,