Тема . Линал и алгебра.

.08 Линейные пространства и подпространства. Линейная зависимость и независимость. Базис. Ранги.

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела линал и алгебра.

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#65830

Вычислить ранг в зависимости от $λ$ :

( ) | 1− λ 0 0 0 | || 0 1− λ 0 0 || а) || || ( 0 0 2 − λ 3 ) 0 0 0 3 − λ

( ) 3 4 2 2 || || б) || 3 17 7 1|| | 1 10 4 λ| ( ) 4 1 1 3

( ) | 1 λ − 1 2| в) | 2 − 1 λ 5| ( ) 1 10 − 6 1

Показать ответ и решение

а) Матрица уже приведена к ступенчатому виду. Понятно, что если $λ ⁄= 1$ , $λ ⁄= 2$ , $λ ⁄= 3$ , то ранг матрицы равен четырем. Запишем это как одно условие: $(λ − 1)(λ− 2)(λ − 3) ⁄= 0$ .

Если $λ = 3$ , четвертая строка (и только она) обнуляется. Соответственно, ранг матрицы равен трем.

Если $λ = 2$ , третья и четвертая строка пропорциональны друг другу и мы можем обнулить одну из них. Ранг матрицы снова равен трем.

Если $λ = 1$ , обнуляются сразу две строки, а ранг матрицы равен двум.

б) Приведем матрицу к ступенчатому виду:

( ) --|−1 ( ) | 3 4 2 2| | | 3 4 2 2 | | 3 17 7 1| ←− + | 0 13 5 − 1 | ----|3 || 1 10 4 λ|| --|−4 −→ || 1 10 4 λ || | ⋅3| −→ ( ) | ( ) | 4 1 1 3 ←− + 0 − 39 − 15 3 − 4λ ←−−− +

( ) --| ( ) | 3 4 2 2 | −1 |3 4 2 2 | | 0 13 5 − 1| | |0 13 5 − 1 | --|−2 −→ || || + −→ || || |+ −→ ( 3 30 12 3λ ) ←− (0 26 10 3λ − 2) ←− 0 0 0 − 4λ 0 0 0 − 4λ

( ) ( ) 3 4 2 2 3 4 2 2 || 0 13 5 − 1 || || 0 13 5 − 1|| −→ || || 4 −→ || || ( 0 0 0 3λ ) --|3 ( 0 0 0 3λ) 0 0 0 − 4λ ←− + 0 0 0 0

Получается, что ранг матрицы равен трем, если $λ ⁄= 0$ , или двум, если $λ = 0$ .

в) Приведем матрицу к ступенчатому виду:

( ) ( ) ( ) 1 λ − 1 2 --− 2 |−1 1 λ − 1 2 1 λ − 1 2 |( 2 − 1 λ 5|) ←−+ | −→ |( 0 − 1 − 2λ λ + 2 1 |) | ⋅− 1 −→ |( 0 2λ+ 1 − λ − 2 − 1|) | 1 10 − 6 1 ←− −−− + 0 10− λ − 5 − 1 | ⋅− 1 0 λ− 10 5 1

Для дальнейшего приведения к ступенчатому виду хочется поделить на $2λ + 1$ . Значит, нужно рассмотреть два варианта: $2λ + 1 = 0$ и $2λ + 1 ⁄= 0$ . Начнем с первого:

( 1 λ − 1 2 ) ( 1 λ − 1 2 ) | | | | | ( 0 0 − λ − 2 − 1 ) ←− |−→ ( 0 λ− 10 5 1 ) 0 λ− 10 5 1 ←− 0 0 − λ − 2 − 1

Матрица приведена к ступенчатому виду, ее ранг равен трем.

Теперь разберем второй вариант, $2λ+ 1 ⁄= 0$ :

( ) ( ) 1 λ − 1 2 1 λ − 1 2 |(0 2λ + 1 − λ− 2 − 1|) --|− λ−10 −→ |( 0 2λ + 1 − λ − 2 − 1 |) | 2λ+1 λ2+2λ−15 3λ−9 0 λ − 10 5 1 ←− + 0 0 --2λ+1-- 2λ+1

Если $λ2+2λ−15⁄= 0 2λ+1$ и $3λ−9 ⁄= 0 2λ+1$ , то ранг матрицы равен трем.

Если один из числителей равен нулю, $λ$ может принимать два значения: $3$ и $− 5$ . Рассмотрим отдельно каждое из них. Если $λ = 3$ , то оба числителя становятся равны нулю, а ранг матрицы равен двум. Если $λ = − 5$ , то обнуляется только первая дробь, и ранг матрицы равен трем.

Таким образом, ранг равен двум при $λ = 3$ , и ранг равен трем во всех остальных случаях.

Ответ:

а) Если $λ ⁄= 1$ , $λ ⁄= 2$ , $λ ⁄= 3$ , то ранг матрицы равен четырем. Если $λ = 3$ или $λ = 2$ , то ранг матрицы равен трем. Если $λ = 1$ , то ранг матрицы равен двум;
б) Получается, что ранг матрицы равен трем, если Если $λ ⁄= 0$ , то ранг матрицы равен трем. Если $λ = 0$ , то ранг матрицы равен двум;
в) Если $2 λ-+22λλ+−115 ⁄= 0$ и $32λλ−+91 ⁄= 0$ , то ранг матрицы равен трем. Если $λ = 3$ , то ранг матрицы равен двум. Если $λ = − 5$ , то ранг матрицы равен трем

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

.08 Линейные пространства и подпространства. Линейная зависимость и независимость. Базис. Ранги.

Специальные программы

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ