.08 Линейные пространства и подпространства. Линейная зависимость и независимость. Базис. Ранги.

Поскольку мы знаем, что , то достаточно проверить, что приведенные 4 матрицы линейно независимы.

Итак, давайте запишем систему линейных уравнений, говорящую о том, с какими коэффициентами через данные матрицы выражается произвольная матрица :

Следовательно,

Таким образом, мы получаем систему уравнений:

Решаем её:

1. Таким образом, если , то видно, что это даёт только нулевое решение, то есть в таком случае . То есть, получаем, что нулевую матрицу (т.е. нулевой вектор нашего пространства) можно выразить только при помощи тривиальной линейной комбинации данных матриц. Следовательно, данная система из четырех матриц линейно независима. А раз их 4 и они в четырехмерном пространстве, то это базис.

2. Найдём координаты матрицы из условия в этом базисе. Так как , то осталось только посчитать значения . Сделаем это!

Далее,

Осталось посчитать последние 2 коэффициента:

Таким образом,