.08 Линейные пространства и подпространства. Линейная зависимость и независимость. Базис. Ранги.

Составим «матрицу перехода» от стандартного базиса в новый, указанный в условии (в кавычках - потому что мы пока не знаем, является ли набор многочленов базисом):

Очевидно, эта матрица невырождена (определитель верхнетреугольной матрицы равен произведению диагональных членов), а значит существует обратная к ней, с помощью которой, наоборот, многочлены стандартного базиса выражаются через многочлены .

Этого достаточно для доказательства того, что многочлены образуют базис пространства .

Таким образом, мы уже доказали, что для каждого многочлена существует (единственный) набор чисел , такой, что

Для того, чтобы узнать, чему равны , заметим, что выполняются равенства:

(1)

Докажем (по индукции) вспомогательное утверждение:

(2)

База очевидна. Пусть утверждение доказано для . Тогда при :

что и требовалось.

Объединяя и :

Это и есть искомые координаты многочлена в базисе .