Тема . Линал и алгебра.

.08 Линейные пространства и подпространства. Линейная зависимость и независимость. Базис. Ранги.

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела линал и алгебра.

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#66165

В линейном пространстве $ℝn [t]$ многочленов степени не выше $n$ над полем $ℝ$ рассмотрим подмножество $V$ , состоящее из тех многочленов $P (t)$ , для которых:

$P (0) = 0$ ;
$P (0) = 1$ ;
$2P (0) = 5P(1)$ ;
$P (t) ≥ 0$ при $0 ≤ t ≤ 1$ ;
$P (t) = P (− t)$ ;
$P (t) = − P (− t)$ .

В каких случаях $V$ является линейным подпространством в $ℝn [t]$ ? Вычислить его размерность и найти какой-нибудь базис.

Показать ответ и решение

1.

Если $P1,P2 ∈ V$ , т.е. $P1 (0) = 0$ и $P2(0) = 0$ , то для их суммы $Q = P1 + P2$ выполняется $Q (0) = P1(0)+ P2(0) = 0+ 0 = 0$ .

Для $Q = α ⋅P1$ , $α ∈ ℝ$ , выполняется $Q (0) = α ⋅P1(0) = α⋅0 = 0$ . Следовательно, $V$ является линейным подпространством в $ℝ [t] n$ .

Если $Q(t) ∈ ℝn [t]$ имеет представление в стандартном базисе $Q (t) = q0 + q1t + ...+ qntn$ , $q0,...,qn ∈ ℝ$ , то условие $Q (0 ) = 0$ означает $q0 = 0$ . Наоборот, любой многочлен вида $Q (t) = q1t+ ...+ qntn$ удовлетворяет условию $Q (0) = 0$ .

Следовательно, $V$ - это подпространство $ℝn [t]$ размерности $n$ , в качестве базиса можно взять $t,t2,...,tn$ .

2.

Рассмотрим многочлен $P(t) = 1$ , лежащий в $V$ . Тогда для $Q = 2∗ P$ выполнено $Q (0) = 2$ , т.е. $Q ∕∈ V$ . Следовательно, $V$ не является линейным подпространством в $ℝn [t]$ .

3.

Если $P1,P2 ∈ V$ , т.е. $2P1(0) = 5P1 (1)$ и $2P2 (0 ) = 5P2(1)$ , то для их суммы $Q = P1 + P2$ выполняется $2Q (0) = 2(P1 (0) + P2(0)) = 5(P1(1)+ P2(1)) = 5Q (1)$ .

Для $Q = α ⋅P1$ , $α ∈ ℝ$ , выполняется $2Q(0) = 2α ⋅P1(0) = 5 α⋅P1 (1) = 5Q (1)$ . Следовательно, $V$ является линейным подпространством в $ℝn[t]$ .

Если $Q(t) ∈ ℝ [t] n$ имеет представление в стандартном базисе $Q(t) = q + q t+ ...+ q tn 0 1 n$ , $q0,...,qn ∈ ℝ$ , то условие $2Q (0) = 5Q(1)$ означает

2q0 = 5⋅(q0 + q1 + ...+ qn) ⇔ 3q0 + 5q1 + 5q2 + ...+ 5qn = 0.

(1)

Наоборот, для каждого многочлена с условием $q0 = 52(q0 + ...+ qn )$ выполенно $2Q (0) = 2q0 = 5(q0 + ...+ qn) = 5Q (1)$ . Таким образом, это подпространство задается единственным уравнением, в частности имеет размерность $n$ .

В качестве базиса можно взять набор многочленов $5+ 2t,5 + 2t2,...,5 + 2tn$ .

4.

Возьмем $P = 1$ , $P ∈ V$ . Тогда $Q = − 1 ⋅P ∕∈ V$ , т.е. умножение на $α ∈ ℝ$ выводит за пределы множества $V$ , следовательно $V$ не является линейным подпространством в $ℝn [t]$ .

5.

Если $P ,P ∈ V 1 2$ , то для $Q = P + P 1 2$ имеем $Q(t) = P (t) + P (t) = P (− t)+ P (− t) = Q (− t) 1 2 1 2$ .

Для многочлена $Q = α ⋅P1$ , $α ∈ ℝ$ , имеем $Q (t) = αP1 (t) = αP1(− t) = Q (− t)$ . Следовательно $V$ является линейным подпространством.

Пусть $n Q (t) = q0 + q1t+ ...+ qnt$ , тогда условие $Q(t) = Q (− t)$ имеет вид

2 n 2 n n q0 + q1t+ q2t + ...qnt = q0 − q1t+ q2t + ...(− 1) qnt ,

что эквивалентно набору из $[ ] n−-1- + 1 2$ условий:

[ ] q = 0, k = 0,..., n−-1- . 2k+1 2

Наоборот, каждый многочлен, имеющий ненулевые коэффициенты только при четных степенях $t$ , очевидно, удовлетворяет условию $Q(t) = Q(− t)$ .

Таким образом, базисом в пространстве $V$ является набор многочленов $n 1,t2,t4,...t2[2]$ , в частности $dim V = [n ]+ 1 2$ .

6.

Если $P1,P2 ∈ V$ , то для $Q = P1 + P2$ выполнено $Q (t) = P1(t)+ P2(t) = − P1(t)− P2 (t) = − Q (t)$ . Для многочлена $Q = αP1$ , $α ∈ ℝ$ , выполнено $Q (t) = αP1 (t) = − αP1(− t) = − Q(− t)$ . Следовательно, $V$ является линейным подпространством в $ℝn[t]$ .

Если многочлен имеет представление в стандартном базисе $Q (t) = q0 + q1 + ...+ qntn$ , то равенство $Q (t) = − Q (− t)$ превращается в

2 n 2 n+1 n q0 + q1t+ q2t + ...+ qnt = − q0 + q1t − q2t + ...+ (− 1) qnt ,

эквивалентное набору условий:

[ ] q = 0, k = 0,..., n . 2k 2

Наоборот, если представление $Q$ в стандартном базисе имеет ненулевые коэффициенты только при нечетных степенях $t$ , то $Q$ , очевидно, удовлетворяет условию $Q(t) = − Q (− t)$ .

Таким образом, в качестве базиса $V$ можно выбрать набор многочленов $t,t3,t5,...t2[n−21]+1$ , в частности, $[ ] dim V = n+21-$ .

Ответ:

1.: Подпространство, размерность $n$ , в качестве базиса можно взять $2 n t,t,...,t$ .
2.: Не подпространство
3.: Подпространство, размерность $n$ , в качестве базиса можно взять набор многочленов $5 + 2t,5+ 2t2,...,5+ 2tn$ .
4.: Не подпространство
5.: Подпространство, размерность $[n] 2 + 1$ , в качестве базиса можно взять набор многочленов $1,t2,t4,...t2[n2]$
6.: Подпространство, размерность $[ ] n2 + 1$ , в качестве базиса можно взять набор многочленов $t,t3,t5,...t2[n−21]+1$

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

.08 Линейные пространства и подпространства. Линейная зависимость и независимость. Базис. Ранги.

Специальные программы

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ