.08 Линейные пространства и подпространства. Линейная зависимость и независимость. Базис. Ранги.

Для начала определим размерность . Для этого составим матрицу из координат векторов и элементарными преобразованиями приведем ее к ступенчатому виду:

Оказалось, что , где линейно независимы, в частности

Трехмерное подпространство в четырехмерном пространстве задается одним уравнением, поэтому задача свелась к тому, чтобы найти вектор коэффициентов такой, что каждый из векторов является решением уравнения , т.е. решить однородную систему с матрицей коэффициентов

которая, как мы видели выше, приводится элементарными преобразованиями к виду

Эта система имеет единственное с точностью умножения на константу решение .

Окончательно, линейное пространство определяется единственным уравнением