.08 Линейные пространства и подпространства. Линейная зависимость и независимость. Базис. Ранги.

a) На данном множестве операции сложения и умножения на числа не определены корректно. А именно, проблема будет с умножением на числа.
Действительно если мы возьмём какой-нибудь ненулевой вектор из верхней полуплоскости , то мы просто-напросто не сможем умножать его на отрицательные , поскольку если, например, умножить этот на , то он уже окажется в нижней полуплоскости.
То есть, наши операции не определены на . Следовательно, такое с такими операциями не является линейным пространством

b) Возможно 2 случая:
1) Если наша прямая не проходит через начало координат , то тогда не будет являться линейным пространством. Это происходит потому, что конец вектора суммы двух неколлинеарных векторов , концы которых лежат на такой прямой, уже не будет лежать на этой же прямой. В этом легко убедиться, сложив такие векторы и по правилу параллелограмма.
2) А вот в случае, если наша прямая проходит через начало координат , то всё хорошо. Наши операции тогда определены корректно, и сумма двух векторов с концами на нашей прямой тоже будет иметь конец на нашей прямой.
С умножением на числа тем более всё будет в порядке - умножение на числа не выводит вектора за пределы такой прямой - это легко понять геометрически.

Нетрудно убедиться и в том, что все 8 аксиом линейного пространства в этом случае выполняются.

c) Если мы выкинем все вектора, параллельные данной прямой, то относительно стандартных операций наше не будет линейным пространством, потому что операции на не будут определены корректно.
Действительно, если мы возьмём любой , то есть не параллелен какой-то фиксированной прямой , то для него всегда можно подобрать непараллельный вектор так, чтобы был уже параллелен прямой (прибавление вектора нужной длины и нужного направления повернёт вектор так, чтобы он стал уже параллелен ).
Таким образом, наше множество не замкнуто относительно операции сложения векторов: мы всегда можем найти векторы и такие, что их сумма не лежит в , то есть параллельна той самой фиксированной прямой .

d) Сложение у нас на определено стандартно. А вот умножение немного необычное: когда мы умножаем вектор на , мы умножаем только первую его координату на , а вторую просто зануляем: .
Очевидно, что ни такое видоизменённое умножение на числа, ни уж тем более стандартное сложение, не выведет нас за пределы . Т.е. замкнуто относительно введённых на нём операций. Однако, достаточно ли этого, чтобы оно было линейным пространством?
Разумеется, нет. Должны ещё выполняться 8 аксиом линейного пространства. В нашем же случае не будет выполняться аксиома . А именно, в нашем случае, если я беру вектор такой, что , то умножение его на единицу сделает, по нашему новому определению умножения, следующее: . А должен был в конце получиться тот же вектор, что и был, то есть . Следовательно, аксиома 5 нарушается, и наше не будет линейным пространством.