Тема . Линал и алгебра.

.08 Линейные пространства и подпространства. Линейная зависимость и независимость. Базис. Ранги.

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела линал и алгебра.

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#68264

Выяснить, являются ли следующие системы векторов линейно независимыми:

а): $a1 = (1,2,3), a2 = (3,6,7)$ ;
б): $a1 = (4,− 2,6), a2 = (6,− 3,9)$ ;
в): $a1 = (2,− 3,1), a2 = (3,− 1,5), a3 = (1,− 4,3)$ ;
г): $a1 = (5,4,3), a2 = (3,3,2), a3 = (8,1,3)$ ;
д): $a1 = (4,− 5,2,6), a2 = (2,− 2,1,3), a3 = (6,− 3,3,9), a4 = (4,− 1,5,6)$ ;
е): $a1 = (1,0,0,2,5), a2 = (0,1,0,3,4), a3 = (0,0,1,4,7), a4 = (2,− 3,4,11,12)$ .

Показать ответ и решение

а)

Составим матрицу из координат векторов и приведем ее к ступенчатому виду для нахождения ранга:

(1 2 3) (1 2 3 ) (0 2 3 ) ∼ ∼ . 3 6 7 0 0 − 2 0 0 − 2

Поскольку ранг матрицы равен $2$ , то есть равен количеству векторов в изначальном наборе, то векторы $a1$ и $a2$ линейно независимы.

б)

Ясно, что $3a − 2a = 0 1 2$ . То есть существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору. Следовательно, векторы $a ,a 1 2$ - линейно зависимы.

в)

Составим матрицу из координат векторов и приведем ее к ступенчатому виду:

( ) ( ) ( ) 2 − 3 1 2 − 3 1 2 − 3 1 || 3 − 1 5|| ∼ || 0 7 7|| ∼ || 0 7 7|| . ( ) ( ) ( ) 1 − 4 3 0 − 5 5 0 0 70

Поскольку ранг равен $3$ , векторы $a1$ , $a2$ и $a3$ линейно независимы.

г)

Составим матрицу из координат векторов и приведем ее к ступенчатому виду:

( ) ( ) ( ) ( ) 5 4 3 5 4 3 5 − 5 3 0 − 5 3 || 3 3 2|| ∼ || 0 3 1 || ∼ || 0 0 1 || ∼ || 0 0 1 || . ( ) ( ) ( ) ( ) 8 1 3 0 − 27 − 9 0 0 − 9 0 0 − 9

Ранг системы векторов $a1,a2,a3$ получился равен 2, что меньше их количества. Следовательно, эта система векторов линейно зависима.

д)

Составим матрицу из координат векторов и приведем ее к ступенчатому виду:

( ) ( ) ( ) 4 − 5 2 6 4 − 5 2 6 4 − 5 2 6 || || || || || || || 2 − 2 1 3|| ∼ || 0 1 0 0|| ∼ || 0 0 0 0|| . | 6 − 3 3 9| | 0 9 0 0| | 0 9 0 0| ( ) ( ) ( ) 4 − 1 5 6 0 4 3 0 0 4 3 0

Поскольку у нас получилась нулевая строка, то такая система векторов заведомо линейно зависима.

е)

Составим матрицу из координат векторов и приведем ее к ступенчатому виду:

( ) ( ) 1 0 0 2 5 1 0 0 2 5 || || || || || 0 1 0 3 4 || ∼ || 0 1 0 3 4|| ∼ |( 0 0 1 4 7 |) |( 0 0 1 4 7|) 2 − 3 4 11 12 0 − 3 4 7 2

( ) ( ) 1 0 0 2 5 1 0 0 2 5 | | | | || 0 1 0 3 4|| || 0 1 0 3 4 || ∼ || 0 0 1 4 7|| ∼ || 0 0 1 4 7 || . ( ) ( ) 0 0 4 16 14 0 0 0 0 − 14

Таким образом, ранг матрицы равен 4, следовательно векторы $a1, a2, a3, a4$ линейно независимы.

Ответ:

а): Независима;
б): Зависима;
в): Независима;
г): Зависима;
д): Зависима;
е): Независима.

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

.08 Линейные пространства и подпространства. Линейная зависимость и независимость. Базис. Ранги.

Специальные программы

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ