.08 Линейные пространства и подпространства. Линейная зависимость и независимость. Базис. Ранги.

a) Действительно, пусть мы имеем дело с системой векторов . Тогда нулевой вектор можно нетривиальным образом получить как линейную комбинацию векторов данной системы:

Следовательно, эта система векторов линейно зависима по определению.

b) Давайте от противного, предположим, что система - линейно независима, а какая-то её подсистема - линейно зависима ().
Но тогда, раз - линейно зависима, то существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору:

Но тогда существует и нетривиальная линейная комбинация исходной системы, равная нулевому вектору:

c) Раз система - линейно зависима, то существует их нетривиальная линейная комбинация, равная нулевому вектору:

Но тогда, как бы мы ни дополняли исходную систему новыми векторами, эта новая дополненная система тоже будет линейно зависима, поскольку подойдёт линейная комбинация со старыми коэффициентами для и с нулевыми коэффициентами для .

Она будет нетривиальной, потому что уже среди первых есть хотя бы один ненулевой коэффициент.

d) От противного. Пусть не является линейной комбинацией векторов .

Однако нам дано, что набор векторов - линейно зависим. Это означает, что существуют , не все из которых равны нулю, такие, что:

Рассмотрим 2 случая.

1 случай. . Тогда

И это нетривиальная (почему?) линейная комбинация векторов , равная нулю. Противоречие с тем, что нам дано, что набор - линейно независим.

2 случай. . Но тогда

Противоречие с тем, что не является линейной комбинацией векторов .

В обоих случаях мы получаем противоречие. Следовательно, наше предположение было неверно, и мы, тем самым, все доказали.