.08 Линейные пространства и подпространства. Линейная зависимость и независимость. Базис. Ранги.

Нам нужно доказать, что - базис пространства . Для этого нужно доказать, что - линейно независима и то, что любой вектор пространства можно выразить в виде линейной комбинации векторов .

Второе доказывать не нужно, поскольку нам это уже дано по условию (нам дано даже больше, что любой вектор можно выразить, да притом единственным образом). Поэтому остаётся доказать лишь первое.

Почему - линейно независима? Давайте доказывать от противного. Пусть она линейно зависима. Тогда существует нетривиальная линейная комбинация, выражающая нулевой вектор пространства :

Но, с другой стороны, ясно, что

Таким образом, мы получили две разные линейные комбинации, выражающие .

Они действительно разные, поскольку - нетривиальна, то есть там не все коэффициенты равны нулю, а - тривиальна.

Но это противоречит условию того, что каждый вектор пространства единственным(!!!) образом выражается в виде линейной комбинации . Это противоречие доказывает, что наше предположение было неверно. Следовательно, - линейно независимая система. А, значит, базис.