.08 Линейные пространства и подпространства. Линейная зависимость и независимость. Базис. Ранги.

Давайте для начала поймем, что бесконечномерность пространства означает в точности то, что для любого в этом пространстве существует линейно независимая система из векторов.

Действительно, это означает, что размерность не может быть конечной, потому что размерность - это количество векторов в любом базисе, а в любом пространстве невозможно набрать линейно независимых векторов больше, чем его размерность (при присоединении любого вектора к базису такая система получается уже линейно зависимой).

Таким образом, нам нужно построить пример пространства, в котором существуют линейно независимые наборы из сколь угодно большого количества векторов.

Давайте в качестве такого пространства возьмём

- пространство всех многочленов, безо всякого ограничения на их степень. Операции сложения и умножения на числа в стандартные - мы складываем многочлены и умножаем их на любые как обычно.

Но тогда, для каждого рассмотрим такое множество векторов в этом пространстве:

Мы утверждаем, что для каждого система векторов линейно независима.

Действительно, от противного, пусть для какого-то оказалась линейно зависима в нашем пространстве. Тогда найдутся такие , не все равные нулю, что

Но что стоит в левой части равенства? В левой части стоит просто многочлен

А в правой части стоит нулевой вектор, но нулевой вектор в пространстве многочленов - это нулевой многочлен - многочлен, у которого все коэффициенты равны нулю. Но тогда мы получаем, что

Но тогда левая часть равна нулю при любой подстановке . То есть многочлен из левой части имеет бесконечно много корней. Но многочлен не может иметь корней больше, чем его степень. Следовательно, в левой части написан тоже нулевой многочлен. Следовательно,

Получаем противоречие. Следовательно, система векторов

линейно независима для любого . А, значит, у нас в есть линейно независимые системы из сколь угодно большого количества векторов. Следовательно, .

Комментарий. Если немного поразмыслить, то можно понять, что одним из самых просто устроенных базисов в является такое бесконечное множество: