.08 Линейные пространства и подпространства. Линейная зависимость и независимость. Базис. Ранги.

1. Система векторов - линейно независима, если её ранг равен количеству векторов в ней, то есть равен 3.

Для нахождения её ранга, запишем координаты векторов в матрицу:

Далее, приводим матрицу к ступенчатому виду и получаем:

И видно, что её ранг равен 3, потому что получилось 3 ненулевые строки. Следовательно, исходная система линейно независима.

2. Нам нужно эту систему векторов дополнить до базиса. Как же найти четвертый вектор, которым можно дополнить эту систему?

Ясно, что подойдет либо , либо , , либо . Почему же? Потому что нам нужно дополнить до базиса. Но мы работаем в четырехмерном пространстве, поэтому нам достаточно добиться того, чтобы вместе с четвертым вектором система векторов оказалась линейно независима. И тогда это автоматически будет базис.

Почему нам подойдет какой-нибудь из ? Если бы никакой из них нам не подошел, то это означало бы, что для любого система векторов - линейно зависима.

Но это означало бы, что каждый выражался бы в качестве линейной комбинации векторов . Но сами системы и - линейно независимы. Таким образом, мы бы получили противоречие с основной леммой о линейной зависимости, потому что много (4) независимых векторов не могут выражаться через мало (3) независимых векторов.

Следовательно, вместе с каким-то из система всё таки будет линейно независимой.

Это можно понять и перебором - то есть составить четыре матрицы

И понять, у какой из них будет ранг 4.

Подойдёт, например, и первая матрица, потому что если привести к ступенчатому виду, то получается

И видно, что . Следовательно, в качестве можно взять .