.08 Линейные пространства и подпространства. Линейная зависимость и независимость. Базис. Ранги.

1. Система векторов - линейно независима, поскольку ясно, что если мы смогли выразить нулевой вектор как линейную комбинацию векторов из этой системы, то это означает, что . Но поскольку , то . То есть нулевой вектор выражается только через тривиальную линейную комбинацию векторов нашей системы из одного вектора. Следовательно, она линейно независима.

2. Нам нужно эту систему векторов дополнить до базиса. Как же найти и , которыми можно дополнить эту систему?

Ясно, что подойдут какие-то два вектора из трёх векторов стандартного базиса :

Почему же? Потому что нам нужно дополнить до базиса. Но мы работаем в трёхмерном пространстве, поэтому нам достаточно добиться того, чтобы вместе с двумя другими векторами система векторов оказалась линейно независима. И тогда это автоматически будет базис.

Почему нам можно взять какие-нибудь два среди ? Если бы никакие из них нам не подошли, то это означало бы, что для любых система векторов - линейно зависима.

Но это означало бы, что каждый выражался бы в качестве линейной комбинации векторов . Таким образом, мы бы получили противоречие с основной леммой о линейной зависимости, потому что много (3) независимых векторов не могут выражаться через мало (2) независимых векторов.

Следовательно, вместе с каким-то система всё таки будет линейно независимой.

Это можно понять и перебором - то есть составить три матрицы

И понять, у какой из них будет ранг 3.

Подойдёт, например, третья матрица, потому что если привести к ступенчатому виду, то получается

И видно, что . Следовательно, в качестве и можно взять и .