Тема . Линал и алгебра.

.08 Линейные пространства и подпространства. Линейная зависимость и независимость. Базис. Ранги.

Вспоминай формулы по каждой теме

Решай новые задачи каждый день

Вдумчиво разбирай решения

ШКОЛКОВО.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!

Подтемы раздела линал и алгебра.

Решаем задачу:

Ошибка.
Попробуйте повторить позже

Задача 1#69839

a) Вычислить ранг следующих матриц при помощи метода окаймляющих миноров:

1. $( ) | 4 1 7 − 5 1 | || 0 − 7 1 − 3 − 5|| || || ( 3 4 5 − 3 2 ) 2 5 3 − 1 3$

2. $( ) 3 1 1 2 − 1 || 0 2 − 1 1 2 || || || || 4 3 2 − 1 1 || |( 12 9 8 − 7 3 |) − 12 − 5 − 8 5 1$

3. $( ) 1 1 0 0 0 0 | | || 0 1 1 0 0 0|| || 0 0 1 1 0 0|| || || || 0 0 0 1 1 0|| | 0 0 0 0 1 1| ( ) 1 0 0 0 0 1$ .

b) В каждой из вышеприведенных матриц найти, во-первых, какие $r$ строк (где $r$ - ранг соответствующей матрицы) можно выбрать в качестве линейно независимых и, во-вторых, какие $r$ столбцов можно выбрать в качестве линейно независимых.

Показать ответ и решение

a)
1. Найдём ранг методом окаймляющих миноров. Начнём проверять миноры 2-го порядка.

| | ||4 1|| || || = − 7⋅4 = − 28 0 − 7

Значит ранг как минимум равен 2. Допишем по одному элементу данных столбцов и начнём проверять миноры 3-го порядка

| | | | ||4 1 7|| ||0 − 7 1||= 4 ⋅(− 7 )⋅5+ 1 ⋅1⋅ 3+ 7 ⋅0⋅4 − 3⋅(− 7)⋅7 − 4⋅1 ⋅4− 5 ⋅0⋅ 1 = − 6 ||3 4 5||

Получили ненулевой определитель, а значит ранг матрицы уже не меньше 3. Проверим миноры 4-го порядка.

|| || || || ||4 1 7 − 5|| ||4 1 7 1 || ||0 − 7 1 − 3|| ||0 − 7 1 − 5|| | |= 0 | |= 0 ||3 4 5 − 3|| ||3 4 5 2 || ||2 5 3 − 1|| ||2 5 3 3 ||

Все определители миноров 4-го порядка равны 0, а значит, что ранг матрицы равен 3.

2. Найдём ранг методом окаймляющих миноров. Начнём проверять миноры 2-го порядка.

| | ||3 1|| || || = 6 0 2

|| || ||3 1 1 || ||0 2 − 1|| = 9 || || 4 3 2

Получили ненулевой определитель, а значит ранг матрицы уже не меньше 3. Проверим миноры 4-го порядка.

| | ||3 1 1 2 || || || ||0 2 − 1 1 ||= 252 ||4 3 2 − 7|| | | |12 9 8 − 7|

И мы сразу находим ненулевой определитель 4-го порядка, а это значит, что нам осталось проверить только всю матрицу целиком.

|| || || 3 1 1 2 − 1|| || 0 2 − 1 1 2 || | | || 4 3 2 − 1 1 ||= 0 || 12 9 8 − 7 3 || || || − 12 − 5 − 8 5 1

Определитель равен 0, а значит ранг матрицы равен 4.

3. Найдём ранг методом окаймляющих миноров. Начнём проверять миноры 2-го порядка.

|| || ||1 1||= 1 |0 1|

| | ||1 1 0|| || || ||0 1 1|| = 1 |0 0 1|

Получили ненулевой определитель, а значит ранг матрицы уже не меньше 3. Проверим миноры 4-го порядка.

| | ||1 1 0 0|| || || ||0 1 1 0||= 1 ||0 0 1 1|| | | |0 0 0 1|

| | ||1 1 0 0 0|| || || |0 1 1 0 0| ||0 0 1 1 0|| = 1 || || ||0 0 0 1 1|| |0 0 0 0 1|

Определитель равен 1, а значит проверяем миноры 6-го порядка, а такой у нас один - и это вся матрица. Для вычисления определителя всей матрицы разложим её по первой строке

| | |1 1 0 0 0 0| | | | | || || ||1 1 0 0 0|| ||1 0 0 0 0|| ||0 1 1 0 0 0|| || || || || ||0 0 1 1 0 0|| |0 1 1 0 0| |1 1 0 0 0| || ||= 1 ⋅||0 0 1 1 0||− 1⋅||0 1 1 0 0||= 1 − 1 = 0 |0 0 0 1 1 0| || || || || ||0 0 0 0 1 1|| ||0 0 0 1 1|| ||0 0 1 1 0|| || || |0 0 0 0 1| |0 0 0 1 1| |1 0 0 0 0 1|

Минор 6-го порядка равен 0. Так как других миноров данного порядка нет, то заключаем, что ранг матрицы равен 5.

b)
1. Поскольку максимальный ненулевой минор у нас был

| | ||4 1 7|| || || ||0 − 7 1||= 4 ⋅(− 7 )⋅5+ 1 ⋅1⋅ 3+ 7 ⋅0⋅4 − 3⋅(− 7)⋅7 − 4⋅1 ⋅4− 5 ⋅0⋅ 1 = − 6 |3 4 5|

и он составлен из 1-ой, 2-ой и 3-ей строки исходной матрицы, а также из 1-го, 2-го и 3-го столбца исходной матрицы, то в качестве линейно независимых строк исходной матрицы можно взять

v = (4,1,7,− 5,1),v = (0,− 7,1,− 3,− 5),v = (3,4,5,− 3,2) 1 2 3

А в качестве линейно независимых столбцов в исходной матрице можно взять

u1 = (4,0,3,2),u2 = (1,− 7,4,5),u3 = (7,1,5,3)

2. Поскольку максимальный ненулевой минор у нас был

|| || ||3 1 1 2 || ||0 2 − 1 1 || | |= 252 ||4 3 2 − 7|| ||12 9 8 − 7||

и он составлен из 1-ой, 2-о, 3-ей и 4-ой строки исходной матрицы, а также из 1-го, 2-го,3-го и 4-го столбца исходной матрицы, то в качестве линейно независимых строк исходной матрицы можно взять

v1 = (3,1,1,2,− 1),v2 = (0,2,− 1,1,2),v3 = (4,3,2,− 1,1),v4 = (12,9,8,− 7,3)

А в качестве линейно независимых столбцов в исходной матрице можно взять

u1 = (3,0,4,12,− 12),u2 = (1,2,3,9,− 5),u3 = (1,− 1,2,8,− 8),u4 = (2,1,− 1,− 7,5)

3. Поскольку максимальный ненулевой минор у нас был

|| || ||1 1 0 0 0|| |0 1 1 0 0| || || ||0 0 1 1 0|| = 1 ||0 0 0 1 1|| || || 0 0 0 0 1

и он составлен из 1-ой, 2-ой, 3-ей, 4-ой и 5-ой строки исходной матрицы, а также из 1-го, 2-го, 3-го, 4-го и 5-го столбца исходной матрицы, то в качестве линейно независимых строк исходной матрицы можно взять эти самые первые 5 строк исходной матрицы, а в качестве линейно независимых столбцов - эти самые первые 5 столбцов исходной матрицы.

Ответ:

a) 1. Ранг равен трем;
2. Ранг равен четырем;
3. Ранг равен пяти.

b) 1. В качестве линейно независимых строк годятся первые три, в качестве линейно независимых столбцов годятся первые три;
2. В качестве линейно независимых строк годятся первые четыре, в качестве линейно независимых столбцов годятся первые четыре;
3. В качестве линейно независимых строк годятся первые пять, в качестве линейно независимых столбцов годятся первые пять;

Нужна консультация? Задайте нам вопрос в чате.

Специальные программы

Все специальные программы

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

Программа
лояльности v2.0

Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!

.08 Линейные пространства и подпространства. Линейная зависимость и независимость. Базис. Ранги.

Специальные программы

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программалояльности v2.0

Крути рулеткуи выигрывай призы!

Бесплатное онлайн-обучение

Налоговые вычеты

Специальное предложениедля учителей

Вернём деньги за курсза твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ

Программа
лояльности v2.0

Крути рулетку
и выигрывай призы!

Специальное предложение
для учителей

Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ