.08 Линейные пространства и подпространства. Линейная зависимость и независимость. Базис. Ранги.

1. Давайте зададим как пространство решений некоторой ОСЛУ

Ясно, что в матрице должно быть 5 столбцов, поскольку в векторах в у нас по пять координат.

А сколько должно быть строк? Найдём размерность нашего , вычислив ранг матрицы из координат векторов, на которые натягивается , то есть ранг матрицы

Он равен 4, а это значит, что

То и размерность пространства решений нашей ОСЛУ должна быть равна 4.

Но размерность пространства решений ОСЛУ равна количеству столбцов минус .

Следовательно, нам будет достаточно , у которой только одна строка. То есть будем искать в виде:

И у нас должно быть выполнено, что что

(где - это вектора, на которые мы натягиваем пространство ).

Таким образом, мы имеем систему:

В качестве подойдёт матрица

Таким образом, задаётся ОСЛУ

Её общим решением является уравнение

Это и есть уравнение, задающее .

2. С другой стороны, задается уравнением . Следовательно, их пересечение задаётся системой

И, таким образом, базисом пересечения будет ФСР этой последней ОСЛУ.

Запишем её матрицу:

Приведем эту матрицу к ступенчатому виду:

Таким образом, переменные и будут главными, а остальные - свободными.

Формула общего решения ОСЛУ будет:

Следовательно, базисом пространства решений (он же базис ) будет