.08 Линейные пространства и подпространства. Линейная зависимость и независимость. Базис. Ранги.
Готовиться с нами - ЛЕГКО!
Ошибка.
Попробуйте повторить позже
Является ли линейным подпространством подмножество, образованное всеми:
- 1)
- матрицами с нулевой диагональю в пространстве
матриц порядка 
;
- 2)
- симметричными матрицами в пространстве
матриц порядка 
;
- 3)
- вырожденными матрицами в пространстве
матриц порядка 
;
- 4)
- многочленами, корнями которых являются числа
в пространстве всех
многочленов степени не выше 
;
- 5)
- многочленами, имеющими нечётную степень в пространстве всех многочленов степени не
выше
;
- 6)
- многочленами, имеющими нулевой коэффициент при
в пространстве всех многочленов
степени не выше 
;
- 7)
- векторами с началом в начале координат, концы которых лежат на единичной сфере в
;
- 8)
- векторами с началом в начале координат, концы которых лежат на фиксированной
плоскости, проходящей через начало координат в
;
- 9)
- векторами с началом в начале координат, концы которых лежат на единичном кубе в
;
- 1)
- Да, поскольку сумма таких матриц - вновь матрица такого вида, и то же верно про умножение матрицы такого вида на любое число;
- 2)
- Да. Пусть матрицы
и 
- симметричны. Это означает, что 
, 
. Тогда
что с их суммой?
Следовательно, сумма симметричных матриц вновь симметрична. Аналогично проверяется то, что и умножение на числа не выводит за пределы множества симметричных матриц;
- 3)
- При
- нет. Рассмотрим матрицы 
и 
. Очевидно, они вырождены,
а их сумма - нет, поскольку их сумма - единичная матрица. Аналогичный пример можно
привести для любого 
.
При
множество всех вырожденных матриц состоит из единственной - нулевой (то
есть числа 0, поскольку матрицы 
это просто числа) и тогда множество вырожденных
матриц превращается в тривиальное подпространство, состоящее только из нуля. Так что
при 
ответ: да ;
- 4)
- Да. Пусть
и 
- два таких многочлена. Но тогда их сумма 
тоже будет иметь числа 1, 2, 3, 
в качестве корней. Потому что, например,
. Следовательно, сумма многочленов такого вида - вновь
многочлен такого вида. Аналогично и с умножениями многочленов такого вида на числа;
- 5)
- Нет, потому что, например
и 
имеют нечетную степень, однако их
сумма равна 
и имеет уже чётную степень. Таким образом, это множество не замкнуто
относительно сложения;
- 6)
- Да, проверяется непосредственно;
- 7)
- Нет, поскольку если взять такой вектор и умножить на 2, то его конец уже не будет лежать
на единичной сфере. То есть наше множество не замкнуто относительно умножений на
числа
Комментарий. Вообще никакое ограниченное множество (кроме состоящего только из нуля) не может быть подпространством в
, поскольку
оно по той же причине не будет замкнуто относительно умножений на
всевозможные, в том числе сколь угодно большие 
;
- 8)
- Да, проверяется непосредственно (достаточно нарисовать картинку);
- 9)
- Нет, по причине, описанной в пункте 7).
- 1)
- Да;
- 2)
- Да;
- 3)
- При
- нет. При 
- да. ;
- 4)
- Да;
- 5)
- Нет;
- 6)
- Да;
- 7)
- Нет;
- 8)
- Да,;
- 9)
- Нет.
Специальные программы
Программа
лояльности v2.0
Приглашай друзей в Школково и получай вознаграждение до 10%!
Крути рулетку
и выигрывай призы!
Крути рулетку и покупай курсы со скидкой, которая привязывается к вашему аккаунту.
Бесплатное онлайн-обучение
Для школьников из приграничных территорий России, проживающих в ДНР, ЛНР, Херсонской, Запорожской, Белгородской, Курской, Брянской областях и Крыму.
Налоговые вычеты
Узнай, как получить налоговый вычет при оплате обучения в «Школково».
Специальное предложение
для учителей
Бесплатный доступ к любому курсу подготовки к ЕГЭ, ОГЭ и олимпиадам от «Школково». Мы с вами делаем общее и важное дело, а потому для нас очень значимо быть чем-то полезными для учителей по всей России!
Вернём деньги за курс
за твою сотку на ЕГЭ
Сдать экзамен на сотку и получить обратно деньги за подготовку теперь вполне реально!
