.08 Линейные пространства и подпространства. Линейная зависимость и независимость. Базис. Ранги.

Вопрос о том, является ли набор векторов
(где )
линейно зависимым равносилен вопросу о том, есть ли у однородной СЛУ

ненулевое решение.

У нас - это неизвестные, их столько штук, сколько у нас векторов, то есть штук.

А уравнений у нас столько, сколько координат у каждого вектора, то есть штук.

По условию у нас .

Но, как известно из теории однородных СЛУ, когда у однородной СЛУ неизвестных больше, чем уравнений, то такая однородная СЛУ всегда имеет бесконечно много решений (потому что она во-первых заведомо совместна, а во-вторых при приведении к ступенчатому виду у нее обязательно появятся свободные неизвестные).

Но раз имеет бесконечно много, значит, хотя бы одно ненулевое решение она заведомо имеет. Что и требовалось доказать. Значит, набор векторов из , в котором больше, чем векторов, всегда линейно зависим.