.08 Линейные пространства и подпространства. Линейная зависимость и независимость. Базис. Ранги.

То, что любой просто как-то выражается в виде линейной комбинации базисных нам дано и так - это входит в определение базиса. Докажем, что такое выражение единственно.

Будем доказывать от противного. Пусть для какого-то нашлось два разных выражения в виде линейной комбинации базисных:

и притом .

Тогда вычтем одно равенство из другого и получим:

Но мы видим, что линейная комбинация базисных равна нулевому вектору. А поскольку базис обязан быть линейно независимым, то ноль можно получить только из тривиальной линейной комбинации. Следовательно, все коэффициенты последней линейной комбинации равны нулю:

Противоречие с тем, что мы предположили, что . Следовательно, ни у какого двух различных разложений быть не может.